電卓を使ってトロルを倒すことができますか?

リドラー

ザック・ウィスナー・グロス著

2023 年 6 月 9 日、午前 8:00

イラスト：ギョーム・クルジャン

リドラーへようこそ。 私は毎週、この地域で私たちが大切にしているもの、つまり数学、論理、確率に関連した問題を出題します。 毎週 2 つのパズルが表示されます。一口サイズのものが必要な方向けのリドラー エクスプレスと、ゆっくりパズルを楽しみたい方向けのリドラー クラシックです。 1 のいずれかについて正しい答えを送信すると、次の列で賞賛のメッセージが表示される場合があります。 答えを公開するには月曜日までお待ちください。 ヒントが必要な場合、または屋根裏部屋でほこりをかぶっているお気に入りのパズルがある場合は、Twitter で私を見つけるか、メールを送ってください。

6 月 30 日金曜日、ここ FiveThirtyEight での The Riddler のコラムは最終回となります。 私の計算が正しければ、過去 8 年間で 375 件のコラム (これが 376 件目) があり、そのうち 4 件はオリバー・ローダー氏の管理下にあり、残りの 4 件は私の管理下にあります。 提出者のパズルを読んだり（そして解こうと試みたり）、私自身のいくつかのパズルを書いたり、特にリドラー・ネイション全体での創造的な解決策やコラボレーションに驚嘆したりするなど、あらゆる瞬間が絶対的な喜びでした。

しかし、これで終わりではありません。 6 月 23 日金曜日に、私はリドラー ネイションの第 8 回最後の戦いを実行し、結果は翌週の究極のコラムに掲載されます。 その後は…お楽しみに！

数学、論理、確率 (および場合によっては幾何学、物理学など) に関する毎週のパズルをもっとご希望の場合は、次のステップの計画に役立つ 1 分間のアンケートへの参加を検討してください。

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それでは、さっそくパズルに戻りましょう!

Tim Curwick から、ポインタのパズルが届きました。

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あなたは、競合する機関と宇宙開発競争を繰り広げているリドラー宇宙機関のミッション司令官です。 両機関は、新たに発見された、磁場を持つ完全な球形の月の領域を主張しようとしている。 この月の表面上のあらゆる場所で、磁力線は表面と平行に北極から南極へ向いています（つまり、磁場は月の体積の内外を向いていません）。

あなたのチームは先に月に到着しますが、担当の政治家はかなり奇妙な協定を締結しました。 あなたのチームが月面のどこに着陸しても、磁力線が着陸地点の方向を向いている表面上のすべての点、つまり、磁場が着陸地点から離れるよりも、着陸地点に向かう方向を向いているすべての点は、リドラー・ネイションに属します。 。 サーフェスの残りの部分はすべて、競合する機関の国に送られます。

あなたのチームがこの月の表面のランダムな地点に着陸した場合、リドラー ネイションが主張する月の表面積の割合はどれくらいになると予想されますか?

回答を送信してください

ある日、橋を渡っていると、トロールに呼び止められることに気づきました。 あなたが数値 N の階乗を推定できれば、トロルは反対側への通行を許可します。 (トロルは、整数の階乗 (感嘆符で書かれた) はすべての整数の積であることを親切に思い出させてくれます) 1 からその数値まで。たとえば、5! は 1 から 5 までの整数の積なので、120 になります。)

それは問題ない、とあなたはポケットから電卓を取り出しながら思います。 10 桁と小数点に加えて、電卓は加算、減算、乗算、除算、累乗を行うことができます。 さらに階乗ボタンもあります。 というか、以前は…

どうやら、悪意のあるトロルが魔法のように電卓から階乗ボタンを削除し、N というラベルの付いたボタンに置​​き換えたようです。ボタンを押すたびに、N の値が電卓のメモリから読み込まれます。 計算機は N の正確な値を知っていますが、トロールは N の正確な値を明らかにしませんでしたが、N が 200 以下であることは知っています。

橋を通過するには、電卓を使用して N! を見積もる必要があります。 つまり、答えは N! の正確な値の 100 倍以内でなければなりません。

電卓にどんな式を入力しますか?

回答を送信してください

先週の Riddler Express の優勝者、ヒューストンの 👏 Aaron L. 👏 おめでとうございます。

先週、あなたはリドラー カジノで競馬に賭けていました。 カジノは各馬の賭けオッズ (アメリカ形式) を提供しました。 たとえば、オッズ -150 は、150 ドルを賭けるごとに、さらに 100 ドルを獲得することを意味します。 一方、オッズ +150 は、賭けた $100 ごとに、さらに $150 を獲得することを意味します。

さて、損益分岐点を達成するには、オッズが -150 の馬は 60 パーセントで勝つ必要があり、オッズが +150 の馬は 40 パーセントで勝つ必要があります。 (はい、+100 と -100 はどちらも勝利の 50% の確率に相当します。) もちろん、ほとんどのカジノでは、レースのすべての馬に賭けると損失が生じるようにオッズを操作しています。

しかし、リドラーカジノは違います！ ここで、オッズが -150 の馬の勝つ確率はちょうど 60%、オッズ +150 の馬の勝ち確率はちょうど 40% です。

そこで先週、5頭立てのレースが目に留まりました。 3 頭のオッズは +100、+300、+400 でした。 最後の 2 頭のオッズはよく分かりませんでしたが、どちらも 100 の倍数であることがわかりました。 最後の 2 頭の馬のうち 1 頭が持つ可能性のある最高のオッズは何ですか?

The Riddler Casino が公正なオッズを提供していることはわかっていたので、最初の 3 頭の馬のオッズを直接確率に変換することができました。 最初の馬のオッズは +100 でした。つまり、賭けた $100 ごとに、さらに $100 を獲得したことになります。 オッズが公平であるためには、この馬が勝つ確率は 1/2 でなければなりません。 2 頭目の馬のオッズは +300 で、勝つ確率は 1/4 でした。 3 頭目の馬のオッズは +400 で、勝つ確率は 1/5 でした。 一般に、x の 100 倍の正のオッズは、1/(x+1) の確率に相当します。

さらに、5 頭の馬のうち 1 頭が勝たなければならないこともわかりました。これは、その確率を加算して 1 にする必要があることを意味します。最初の 3 頭の馬の合計確率は 1/2 + 1/4 + 1/5、つまり 19/20 になります。 つまり、最後の2頭が勝つ確率は合わせて20分の1だということになる。 しかし、彼らの個々のチャンスは何だったのでしょうか？

x の 100 倍の正のオッズは 1/(x+1) の確率に相当するとすでに述べました。 つまり、最後の 2 頭の馬の場合のように x が整数の場合、それは確率が単位分数 (つまり、分子が 1 の分数) であることを意味します。 これは、最後の 2 頭の馬の確率が 1/a および 1/b として記述できることを意味します。ここで、a と b は整数であり、1/a + 1/b = 1/20 となります。

このパズルは特に、最後の 2 頭の馬のうち 1 頭について可能な限り最高のオッズを求めていたため、これら 2 つの確率のうちの 1 つ、たとえば 1/b を最小化したいと考えました。 1/a を最大化することで 1/b を最小化することができ、1/20 未満の最大単位分数は 1/21 でした。 a を 21 に設定すると 1/b = 1/20 − 1/21 となり、これは 1/b = 1/420 を意味し、実際に生成できる最小単位分数となります。 (同様に、ソルバーの Bowen Kerins によって認識されたように、1/420 は明らかに最高のオッズに関連する値でした。)

最後のステップは、この確率を賭けのオッズに変換することでした。 最後の 2 頭のオッズは +2,000 (確率 1/21 の馬の場合) でした。+41,900（確率1/420の馬の場合）。

先週のリドラークラシックの優勝者、テネシー州オールドヒッコリー在住の👏アダム・リチャードソン👏、おめでとうございます。

先週のゲームショーで、同じドアが左から右に3つ並んでいた。 ショーの司会者「モンティ」はドアの 1 つを選び、その後ろに 100 ドルの賞金を置きました。 他の 2 つのドアの後ろには賞品はありませんでした。 モンティがドアを選んでその後ろにお金を置いたとき、あなたはその場にいなかったので、賞品がどのドアの後ろにあるのかを正確に言うことはできませんでした。

次に、ステージに連れて行かれ、3 つのドアのうち 1 つを選択して開くように求められます。 賞金が裏にあれば、あなたの勝ちです！ しかし、もしあなたの推測が間違っていたとしても、すべてが失われるわけではありません。 80 ドル払って 2 番目のドアを選ぶこともできます。 ただし、2 番目の選択をする前 (ただし、80 ドルを支払った後) に、モンティがヒントを与え、賞品が最初の選択の左側にあるドアの後ろにあるのか、右側にあるドアの後ろにあるのかを教えてくれます。 (このヒントは、以前に中央のドアを選択した場合にのみ役立つことに注意してください。) 賞品が 2 番目のドアの向こうになかった場合は、さらに 80 ドルを支払って 3 回目の挑戦が可能です。

あなたとモンティの両方が最適な戦略でプレーしたと仮定することができます。つまり、あなたは予想される純利益（賞金からヒントの支払いを差し引いたもの）を最大化し、モンティはそれを最小化するということです。 平均してどれくらいの純利益を期待できましたか?

最初に真ん中のドアを開けておけばよかった、と思ったかもしれません。 賞金が裏にあった場合は、1 セントも支払わずに 100 ドルを獲得したことになります。これは素晴らしいことです。 しかし、賞品が中央のドアの後ろになかった場合は、ヒントと別のピックに 80 ドルを支払うことができます。 もちろん、ドアは中央の左側に 1 つ、右側に 1 つしかないため、そのヒントは賞品がどこにあるかを正確に示していました。 80 ドルを支払った後は、次の選択で 100 ドルを獲得することが保証されます。 したがって、この戦略では、100 ドルを完全に獲得するか、20 ドルの利益を得るかのどちらかになります。

さて、モンティがあなたの戦略に乗っていたなら、彼は間違いなく賞金を中央ではなく、2 つのサイドドアの 1 つの後ろに置いたでしょう。つまり、あなたは実際に 100 ドルを獲得することはなく、代わりに 20 ドルしか稼げなかったということになります。 したがって、常に最初に中央のドアを選ぶのではなく、時には中央のドアを選び、時には横のドアを選ぶという混合戦略を検討する価値がありました。 モンティもおそらく同じことをするだろう。 そして、2 人のプレイヤーの混合戦略コンテストにより、このパズルは問題なくゲーム理論の領域に収まりました。

確率 p で中央のドアを選択し、確率 (1−p)/2 で各サイドのドアを選択したとします。 一方、モンティが確率 a で中央のドアの後ろに、確率 q で横のドアの後ろに、そして確率 (1−q)/2 でそれぞれの横のドアの後ろに賞品を置いたとします。 p と q の観点から、予想される賞金はいくらでしたか?

賞品のドアを完全に選択できる確率は、それが中央のドアであろうと横のドアであろうと、pq + (1−p)(1−q)/2 であり、その場合は 100 ドルを獲得します。 最初に中央のドアを選択したが不正解だった場合 (確率 p(1−q) で発生)、次の試行ではヒントによって常に正しい推測が保証されるため、純賞金は 20 ドルになります。 サイドドアを選択したが不正解だった場合 (確率 (1−p)q + (1−p)(1−q)/2 で発生しましたが、賞品を隠す可能性のあるドアがまだ 2 つあり、結果は次のようになります。これ以上プレイする価値がない場合、つまり純利益も損失も得られずに終了したことになります。

これらの結果をまとめると、ドルでの予想賞金は 100pq + 100(1−p)(1−q)/2 + 20p(1−q) となり、単純化すると 50 − 30p − 50q + 130pq となります。 このゲームには独特のナッシュ均衡が存在することが判明しました。これはソルバーの Rohan Lewis によって以下のようにプロットされました。

この平衡を分析的に解くには、前の式が p と q によってどのように変化するかを分析できます。 q の値がどのような場合でも (つまり、モンティの戦略がどのようなものであったとしても)、p の特定の値では常に最大の期待賞金が得られます。 その値を計算するには、q に関して偏微分を計算して 130p − 50 を取得します。これをゼロに設定すると、p の最適値 (あなたにとって) が得られ、これは 5/13 でした。 同様に、p に関する偏微分を取ると、式 130q − 30 が得られ、これをゼロに設定すると、q の最適値 (モンティの場合) が得られ、3/13 でした。

ゲーム理論が完成したので、物事がどのように展開するかは次のとおりです。モンティは確率 3/13 で中央のドアの後ろに、確率 5/13 で 2 つのサイドドアのそれぞれの後ろに賞品を置きました。 次に、中央のドアを確率 5/13 で選び、両側のドアをそれぞれ 4/13 の確率で選びました。 これらはすべて直感的に理にかなっています。あなたはどちらの側よりも中央のドアを選ぶ可能性が高かったのに対し、モンティは中央のサイドドアを好みました。

これらの p と q の値を期待賞金の式に代入すると、500/13、つまりおよその結果が得られます。$38.46 。 確かに、これは、あなたがいつも真ん中のドアを狙っていて、モンティがあなたの計画を察知した場合の 20 ドルよりも高かったのです。

追加のクレジットとして、Monty と同様のゲームをプレイしましたが、今回は最初のドアを選択する前に前払いで 80 ドルを支払う必要がありました。 もし賞金が 100 ドルのままであれば、この特定のゲームはプレイする価値がありません。 この新しいゲームを価値あるものにするためには、賞金はいくらあればよかったのでしょうか?

同様の分析を行ったところ、そのようなゲームは賞金がそれを超えた場合にのみ価値があることがわかりました。$144。

まあ、あなたは幸運ではありませんか？ このコラムの最高のパズルと、これまでに見たことのない頭の痛いパズルが 1 冊まるごと掲載されています。 それは「The Riddler」と呼ばれており、現在店頭にあります。

Zach Wissner-Gross（[email protected]）に電子メールを送信してください。